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十九世纪八十年代对科学工作者所提出的一项巨大任务，是如何能够以低成本生产出铝。当时，人们虽然已经知道了铝的特性和用途，却很难从铝矿石中把它提炼出来。要从这项发现中发财致富，完全取决于能否研究出一种容易实现的技术。我们很难查明，到底有多少化学工作者当时曾经以另一些化学工作者已经取得的同一些经验为依据来研究这个问题。但是我们已经知道，有两个人在同一年——１８８６年——得出了同样的答案。其中一个是美国的霍尔，另一个是法国的赫鲁特。这一点，似乎并不使人感到十分奇怪，令人感到惊讶的倒是：这两个人不但姓氏的第一个字母都是Ｈ，并且两人既都生于１８６３年，又都死于１９１４年。
第4节
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从欧几里得（2200年前）以来，数学家一般都是从某些称为“公理”的陈述出发，推导出各种有用的结论。
从某种意义上说，这几乎就像是一种必须遵守两条规则的游戏。第一，公理应当尽量少。如果你能从某一条公理推导出另一条公理，所么，所推导出的那条公理就不能作为公理。
第二，公理必须是没有内在矛盾的。绝不允许从某一公理推导出两个相互矛盾的结论。
任何一本中学几何课本都要先列出一组公理：通过两点只能作一条直线；整体等于各个部分之和，等等。在很长一段时间内，人们都把欧几里得的公理看作是唯一可用来建立没有内在矛盾的几何学的公理，从而把这些公理看作是“真公理”。
但是，到了十九世纪，有人证明了欧几里得的公理是可以用某些方式来加以改变的，因而可以建立另外一种不同的几何学，即“非欧几里得几何学”。这两种几何学虽然各不相同，但每一种几何学都不具有内在矛盾。从此以后，人们如果要问哪一种几何学是真几何学，就没有意义了。如果要问，就只能问哪一种几何学更有用些。
事实上，我们可以用许多组公理来建立几种各不相同但又各自并不具有内在矛盾的数学体系。
在任何一种这样的数学体系中，你都必定不可能根据它的公理推导出既是如此又非如此的结论，因为如果这样的话，这个数学体系就不可能不具有内在矛盾，就会遭到淘汰。
但是，倘若你能做出一种陈述，并且发现你不能证明它既是如此又非如此的话，又将怎么样呢？
假如我说：“我现在所说的是假话”。
是假话吗？如果是假话，那么，我在说假话这件事就是假的了，因此，我必定在说真话。如果我在说真话，那么我在说假话这件事就是真的了，因此，我确实在说假话。我可以永无休止地来回这样说，结果，将永远无法证明我所说的到底是如此，还是并非如此。
假如你能对这些逻辑公理进行调整，以排除上面所说的这种可能性，那么，你能不能找到另外的方法来做出这样一种既是如此，又非如此的说法？
1931年，一位奥地利数学家戈德尔终于提出一个有力的证明，他指出，对于任何一组公理，你都能做出既不能根据这些公理来证明事实确是如此，也不能根据这些公理来证明事实确非如此的说法。从这个意义上讲，任何人都不可能建立出一种可以凭此推导出一个完美无缺的数学体系的公理。
这是不是意味着我们永远不可能找到“真理”呢？当然不是的。
第一，因为一种数学体系不完美，并不意味着它所包含的东西是“假的”。如果我们不想超出这样的数学体系的限度来应用它，它就仍然是极其有用的。
第二，戈德尔证明只适用于数学中所应用的那几种演绎体系。但是演绎并不是发现“真理”的唯一办法。任何公理都不能帮助我们去推导出太阳系的大小。太阳系的大小是通过观察和测量而得出的——观测是得到“真理”的另一途径。
第5节
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我们通常所用的数都是十进制数。这就是说，它们是按１０的幂来进位的。我们写７２９１时，实际上就是７×１０３加上２×１０２加上９×１０１加上１×１００。应当记住，
１０３＝１０×１０×１０＝１０００；
１０２＝１０×１０＝１００；
１０１＝１０；
１００＝１。
因此，７２９１就是７×１０００加上２×１００加上９×１０再加上１。读出声的时候，就是七千二百九十一。
由于我们对应用１０的各次幂已经非常习惯，所以我们只须写出他们所乘的数（如７２９１），其余的都可以略去。
其实，１０的幂次并不是什么神秘的东西。任何一个比一大的数的幂次都可以起到这样的效果。例如，假定我们现在想用８的幂来写出７２９１这个数，这时应当记住
８０＝１；
８１＝８；
８２＝８×８＝６４；
８３＝８×８×８＝５１２；
８４＝８×８×８×８＝４０９６。
这样，我们就可以把７２９１写为１×８４加上６×８３加上１×８２加上７×８１再加上３×８０。（请你们自己把这个数算出来，并看看所得出的答数。）如果只写出各次幂所要乘的数字，它就应当是１６１７３。因此，我们可以说１６１７３（八进制）＝７２９１（十进制）。
八进制的优点在于除了０以外，你只需记住七个数字。如果你想用数字８，那你可以写出８×８３，而这就等于１×８４。因此，不管任何时候，你都可以用１来代替８。所以十进制的８等于八进制的１０；十进制的８９等于八进制的１３１，依次类推。但是，用八进制时，一个数所用的总字数要比用十进制时多。由此可见，基数越小，所用的不同数字越少，但总字数则越多。
当你用二十进制时，７２９１这个数将成为１８×２０２加上４×２０１再加上１１×２００。在这种情形下，如果你把１８写为＃，并把１１写为％，你就可以说＃４％（二十进制）＝７２９１（十进制）。用二十进制时你将不得不用１９个不同的数字，但是每一个数所用的总字数就会少些。
十进制是一种很方便的进位制。用这种进位制时，既不必记住过多的数字，而且在写一个数时，又可不必用过多的字数。
什么是二进制数呢？在二进制的情况下，７２９１这个数等于１×２１２加上１×２１１加上１×２１０加上０×２９加上０×２８加上０×２７加上１×２６加上１×２５加上１×２４加上１×２３加上０×２２加上１×２１再加上１×２０。（请你们自己把这个数算出来，看看得出什么结果。但要记住２９是９个２的乘积，亦即２×２×２×２×２×２×２×２×２＝５１２。）如果只写出数字，那就是１１１０００１１１１０１１（二进制）＝７２９１（十进制）。
由于二进制数只需要用两个数字，即１和０，所以做加法和乘法演算特别简单。但是即使一个很小的数，例如７２９１，也要用很多位数表示，因而很容易在我们头脑中造成混乱。
但是，电子计算机则可以使用一个双向开关。把开关拨向某一方向，即把电流接通时，它就代表１。把开关拨向另一方向，即把电流断开时，它就代表０。这样，通过操纵电路，使它根据二进制的加法和乘法规则接通和断开，计算机就能以非常快的速度进行算术演算。同按十进制原理设计、用标有０到９的齿轮来进行演算的普通台式计算器相比，它的演算速度要快得多。
第6节
大多数人最为熟悉的数有两种，即正数（＋５，＋１７．５）和负数（－５，－１７．５）。负数是在中世纪出现的，它用来处理３－５这类问题。从古代人看来，要从三个苹果中减去五个苹果似乎是不可能的。但是，中世纪的商人却已经清楚地认识到欠款的概念。“请你给我五个苹果，可是我只有三个苹果的钱，这样我还欠你两个苹果的钱。”这就等于说：（＋３）－（＋５）＝（－２）。
正数及负数可以根据某些严格的规则彼此相乘。正数乘正数，其乘积为正。正数乘负数，其乘积为负。最重要的是，负数乘负数，其乘积为正。
因此，（＋１）×（＋１）＝（＋１）；（＋１）×（－１）＝（－１）；（－１）×（－１）＝（＋１）。2米2花2书2库2 ；http：//www。7mihua。com
现在假定我们自问：什么数自乘将会得出＋１？或者用数学语言来说，＋１的平方根是多少？
这一问题有两个答案。一个答案是＋１，因为（＋１）×（＋１）＝（＋１）；另一个答案则是－１，因为（－１）×（－１）＝（＋１）。数学家是用√￣（＋１）＝±１来表示这一答案的。（碧声注：（＋１）在根号下）
现在让我们进一步提出这样一个问题：－１的平方根是多少？
对于这个问题，我们感到有点为难。答案不是＋１，因为＋１的自乘是＋１；答案也不是－１，因为－